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漫谈超弦理论中的"时空维数"
---答"漫谈统一场理论"一文

huyou

在"漫谈统一场理论"一文中有一部份是涉及超弦理论的. 由于本人稍稍学过一些
超弦理论, 感到大家对超弦理论有一些误解, 在此简单地作一些解释. 本人能力
有限, 不可能作到"深入浅出", 文章不太好懂, 请读者原谅.

有关超弦理论的很多内容都还是一种假说. 因为全面了解它需要大量的现代数学
工具, 而且现在的理论与现实的高能物理实验还有不小的距离, 所以很多人认为
超弦理论太"玄". 实际上它正在渐渐地走向现实. 同时, 超弦理论内容十分丰富,
体系结构严密, 即使将来发现它并不能很好地描述物理理论的基本规律, 关于超
弦理论的研究成果也将成为一份非常宝贵的遗产保留下来.


在这里我谈一谈时空维数在超弦理论中的理解.

正如"漫谈统一场理论"一文中讲到的, 超弦理论存在于10维时空, (类时1维, 类
空9维). 但是在超弦理论向现实的场论和广义相对论的过度过程中会发现, 其10
维时空并不是对4维时空的简单推广.

首先,有关那种其它维数的尺度很小的观点并不是很正确,也不是从10维降到4维的
唯一方法.这种所谓"紧化"的方法,是那些试图对超弦理论进行简单化描述的人的
一种比喻,没有太大的严肃性.当然"紧化"的概念在超弦中还是很重要的,在T-dual
中就要用到它,但这里的"紧化"并不要求尺度小,就是说我们只要求时空在一些方
向上同伦于圆.(我不想表述得太严格.)

Kaluza的五维引力并不是毫无意义,实际上五维爱因斯坦场方程在一定条件下可以
得到四维的引力方程和Maxwell方程.我不是说Kaluza的理论是正确的而是想指出
高维理论在低维时空中的表现可以作为一种统一的方式.

为什么超弦理论一定要是一个10维理论?这正是一个数学问题.其实在维数这个问题
上,不同的自然数并不是平等的.你可以想一下R^N上的转动群,SO(N),的旋量表示.
首先,N的奇偶性不平等,如果你画一下SO(N)的邓金图,就会发现SO(8)的图比别的
图的对称性要高.基于数学上的原因,物理学家是不可能随便的对时空维数进行改变
的.如果你有时间和精力看一看Green, Shwarz, Witten 的书就会发现,10维真的
很奇妙,最开始得到10维时是为了消除反常,可是后来在建立时空超对称时,又用
到了我上面提到的SO(8)的特性!这种感觉真的很不可思议,我当时的感觉就是10
维就是好. 其实无论4维还是10维都是很特殊的时空维数,一共只有5,6种维数上
可以实现超对称,而这些讨论完全建立在SO(N)群的表示理论上,不存在任何附加
的假设. 正是数学本身对某几个维数特别青睐,才导致物理理论只能建立在这几
维时空上,根本用不着人择原理,我也可以回答这个问题.有关时空维数的问题早
已不是一个哲学问题了,数学和物理学已经离正确答案很近了. 

这个问题的数学基础在于, 不同维数的线性空间似乎没有太大的区别, 在"线型代
数"的研究范围内, 低维理论可简单的向高维推广; 但当我们关注线性空间的变换
空间时, 就会发现在很多情况下, 变换空间的性质对线性空间的维数是相当敏感的.

顺便说一句,超弦理论从没说过,时空是26维.那是玻色弦理论的结果.原因是玻色弦
理论中没有费米自由度,只好把多余的自由度算在玻色部分(所谓"时空维数").

如果有人用实证主义的态度,说超弦理论与现实实验太不沾边,我绝无话可说,因为
事实如此,这也是超弦领域无人获得诺贝尔奖的原因.但如果从数学和美学角度看,
超弦理论确实很美!这也是它吸引人的原因.(并不是因为它"玄"!)

究竟10维时空是如何降到4维时空的呢? 现在的超弦理论还没有给出一个标准答案. 
但是近期的进展中给出了一些希望, 我想在这里作一个类比, 大概能有助于理解.
AdS/CFT对偶理论(98年初发展起来的最新理论)中,高维的引力(或超弦),表现为低维
的超Yang-Mills场论(标准模型就是一种Yang-Mills场论). 具体地说, AdS_5 x S^5
时空上的超弦理论对应于 4维N=4的超Yang-Mills场论.在这一过程中,如果我们设想
前者为现在的超弦理论,后者为现实世界,维数似乎不是一个很令人苦脑的问题.

超弦理论最大的特点是,时空坐标是以场量的形式出现的,而不象一般的场论中时空
坐标是参数空间.在广义相对论中没有量子化的问题,无论是场量还是参数空间都是
经典的,即使是Hawking的"量子引力"也只能称为弯曲空间量子场论.超弦的量子化
就是说,场量(时空座标)被解释为态空间的算符.  正是因为时空的意义有了很大的
变化,其维数也不再是经典意义下空间的维数了.如果以前的科学家发现了一种新的
场(粒子)你不会太惊讶,现在超弦理论说时空是10维的,基本上是同样的意义.

本文内容纯系个人理解, 不免贻笑大方了.
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